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22 mars 2014 6 22 /03 /mars /2014 20:02

Exercice 1:

Deux joueurs se disputent un objet. Chacun des joueurs i dans {1, 2} attribue une valeur vi> 0 à l’objet. Le mécanisme de transaction suivant peut être appelé ”jeu d’arrêt” : Chaque joueur décide quand il concède l’objet.
En d’autres termes : Le joueur J1 (resp J2) fixe une date t1 (resp t2), t1 et t2 sont des entiers naturels.
Si t1 < t2 : J1 concède l’objet à J2 à la date t1.
Si t2 < t1 : J2 concède l’objet à J1 à la date t2.
Si ils arrêtent en même temps t2 = t1, ils reçoivent : vi/2 ( i = 1, 2).
Avant l’arrêt du jeu, chaque joueur perd une unité de valeur par unité de temps écoulée.
Ecrire le jeu précédent sous forme stratégique et montrer que si (t1, t2) est un équilibre de Nash, alors t1 = 0 ou t2 = 0.

Exercice 2: (duopole de Cournot)

On considère deux firmes produisant un même bien homogène. Les firmes se font concurrence en quantités et prennent leur décision simultanément. Quand la quantité totale est Q := q1+q2 (qi, supérieure à 0, étant la quantité produite par la firme i), le prix est donnépar : p = f(Q) =1/(1 + Q)
Chaque firme i dans {1, 2} a un coût total linéaire Ci(qi) = cqi où 0 < c < 1.
1. Ecrire les fonctions de paiement des deux firmes et le jeu sous forme stratégique ainsi défini.
2. Représenter graphiquement le paiement du joueur 1 en fonction de q1, q2 étant fixé.
3. Déterminer les correspondances (fonctions) de meilleures réponses.
4. Calculer le ( ou les ) équilibres de Nash du jeu ( stratégies pures).

Discuter selon la valeur de c.

Exercice 3:

Deux joueurs A et B jouent au jeu suivant. Ils doivent tout d'abord verser chacun 1 dirham. Ensuite le joueur A récupère la mise de 2 dirhams ainsi constituée et chaque joueur a deux stratégies possibles : pour le joueur A, il peut ou non décider de jeter les 2 dirhams dans un puit (ils seront alors perdus) ou de les conserver (ils seront alors redistribués, 1 dirham chacun, entre les deux joueurs). Le joueur B doit faire une prédiction sur ce que va faire le joueur A. Si la prédiction se confirme, le joueur A doit donner (indépendemment de la mise précédente) 2 dirhams au joueur B, dans le cas contraire c'est le joueur B qui doit donner 2 dirhams au joueur A.
1. Écrire la matrice de paiement des deux joueurs
2. Décrire, lorsqu'ils existent, les équilibres de Nash et les optima de Pareto.
3. Rappeler la définition d'une stratégie dominante, prudente (peu importe si c'est au sens strict ou au sens large) et décrire, pour chacun des joueurs, celles qui existent.
4. Que va-t-il se passer si A joue en premier ? si B joue en premier ? Y-a-t-il lutte pour le premier ou le second coup ?
5. Pour le jeu répété à horizon infini (sans actualisation), quelles paiements moyens (a , b ) des deux joueurs correspondent à des optima de Pareto ?
6. Montrer que pour le jeu répété à horizon fini il n'existe pas d'équilibre de Nash.
7. On suppose maintenant que la matrice de paiement vaut :
(−3,−1) (1,−3)
(2, 0) (−2, 2)
(modifée en deux valeurs par rapport à la précédente !). Montrer que le jeu à un coup présente les mêmes caractéristiques, mais que, pour le jeu répété (à horizon inni), il existe un équilibre de Nash pour lequel le joueur A reçoit un paiement constant égal à 2 (décrire les stratégies
associées).

Exercice 4:
Quatre joueurs doivent se rendre du point A au point B.

Deux itinéraires sont possibles: l’itinéraire "est" ou l’itinéraire "ouest". Chaque itinéraire comprend deux segments. Les temps de trajet pour chaque segment dépendent du nombre de joueurs qui utilisent le segment et sont égaux aux valeurs suivantes (le premier terme de la parenthèse correspond au temps de trajet pour un joueur si un seul joueur utilise le segment, le deuxième terme au temps de trajet pour un joueur si deux joueurs utilisent le segment etc.):
Segment E1 : (4; 5; 8; 20)
Segment E2 : (1; 2; 4; 8)
Segment O1 : (1; 2; 4; 8)
Segment O2 : (4; 5; 8; 20)
Chaque joueur choisit simultanément son itinéraire. L’objectif d’'un joueur est de minimiser le temps de trajet.
1. Déterminer l’équilibre de Nash de ce jeu.

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Published by OUBEJJA Mohamed - dans Mathématiques appliquées

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  • OUBEJJA Mohamed
  • Enseignant des sciences économiques et de gestion, titulaire d'une licence appliquée en management des systèmes d'information et de décision et d'un Bac sciences maths.
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